Elipse

elip

Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F’(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

5

(x – x0)2 / a2 + (y – y0)2 / b2 = 1

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 (general)

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ecuación reducida de la elipse en el eje horizontal

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

 8

F’(-c, 0) y F(c, 0)

x2/a2 + y2/b2 = 1

Ecuación reducida de la elipse en el eje vertical

9

F’(0, -c) y F(o, c)

y2/a2 + x2/b2 = 1


Hipérbola

hiper

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es constante.

1

2

Ecuación de la hipérbola horizontal

2

Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F’(X0-c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:

(x – x0)2 / a2 – (y – y0)2 / b2 = 1

  Ecuación de la hipérbola vertical

3 

Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y0+c) y F’(X0, y0-c). Y la ecuación de la hipérbola será:

(y – y0)2 / a2 – (x – x0)2 / b2 = 1

Ecuación reducida de la hipérbola en el eje horizontal

7

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas. Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F’(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

1 

Esta expresión da lugar a:

 √(x – c)2 + y2 – √(x – c)2 + y2 = 2a

Realizando las operaciones llegamos a:

x2/a2 – y2/b2 = 1     

Ecuación reducida de la hipérbola en el eje vertical

7

F´(0, -c) y F (0, c)

La ecuación será:

y2/a2 – x2/b2 = 1


Parábola

parbola 

Ecuación reducida de la parábola en el eje horizontal

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

t5

F (P/2, 0)                x = – P/2

y2 = 2px

Ecuación reducida de la parábola en el eje vertical

3

V (a,b)                    F (a,b + p/2)                  y = b – p/2

(x – a)2 = 2p (y – b)


Circunferencia

 

circu

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

       Sin nombres

d (C,P) = r

√(x – a)2 + (y – b)2 = r

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuación:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Si desarrollamos:

x2+ y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

y realizamos estos cambios:

A = -2a                 B = -2b                C = a2 + b2 – r2

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Donde el centro es:

C (-A/2 , -B/2)

y el radio cumple la relación:

r2= (A/2)2 + (B/2)2 – C

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

x2 + y2 = r2

1. Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad. Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

2. No tenga término en xy.

3.  (A/2)2 + (B/2)2 – C > 0


Lugares Geométricos

pln

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico de los puntos que cumplen ciertas propiedades si todos los puntos de dicha figura cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.

Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos:

1. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).

2. Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse).

3. La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.

4. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.


Cónicas

CONICA SUPERFICIAL[1]

Son líneas que se determinan al cortar un cono con planos de distintas inclinaciones. Las cónicas son: cicunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Es importante tener en cuenta que son líneas y no superficies.

1. El griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C) fue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo.

2. Arquímides (287-212 A.C.) logró calcular el área de un elipse y de un sector de la parábola con un método precursor del cálculo integral, que se desarrolló hasta el s. XVII d. C.

3. Apolonio de Praga (262 – 190 A.C.) representa la culminación de la geometría griega. Fue el primero en demostrar que son secciones de un cono circular, recto u oblicuo y las estudió como curvas planas. Los nombres de elipse, parábola e hipérbola se deben a él.

Posiciones relativas de una cónica y una recta.

En general se obtiene una ecuación de segundo grado, que tendrá dependiendo del signo del discriminante, Δ= b2 – 4ac, las siguientes soluciones: 

1. Si Δ > 0

titulo 2

Dos soluciones: la recta y la cónica son secantes.

2. Si Δ = 0 

t3

Una solución: la recta y la cónica son tangentes. 

3. Si Δ < 0 >

Ninguna solución: la recta y la cónica son exteriores.


Plan Matemático 2009

“Los Lugares Geométricos”

matematicas

¡Hola! Somos alumnos del colegio Eleuterio Ramírez, nuestros nombres son Ignacio Pérez, Alex Sánchez y Yasmín Torres y hemos creado este blog para explicar el tema acerca de los lugares geométricos. Podrás conocer y aprender sobre los siguientes temas que te presentamos a continuación:

1.- La ecuación de la circunferencia.  

2.- La ecuación de la parábola.

3.- La ecuación de la hipérbola.

4.- La ecuación de la  elipse.

Si tienes cualquier duda con respecto a esta materia envíanos un comentario y aclararemos tus dudas inmediatamente.

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